ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015
Môn thi: Toán (vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình
a) $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{8}{x-8}$
b) $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-x}=\sqrt{3x+5}$
Câu 2 (1,5 điểm)Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{align} x^2+x &=y^2+y \\ x^2+y^2 &=5 \end{align} \right.$
Câu 3 (1,5 điểm) Cho hai số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a+b=3,\,ab=1$. Tính giá trị của biểu thức:
$$P=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}$$
$$P=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}$$
Câu 4 (4.0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, AB < AC.
a) Chứng minh rằng $AD\bot EF$
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của ADvà (O). Chứng minh $\vartriangle ABD\sim \vartriangle AKC$
c) Kẻ $EH\bot AC$ tại H. Chứng minh rằng HE.AD = EA.EF
d) Hãy so sánh diện tích của tam giác ABC với diện tích của tứ giác AEKF.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{a}{1+{{b}^{2}}}+\dfrac{b}{1+{{c}^{2}}}+\dfrac{c}{1+{{a}^{2}}}$$
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trung tâm Nghiên cứu
và Chuyển giao công nghệ
SmartEdu Vinh
GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015
Môn thi: Toán (vòng 1)
Câu 1 (2,0 điểm). a) $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{8}{x-2}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Điều kiện:
$\left\{ \begin{align} x\ne -1 \\ x\ne -\dfrac{1}{2} \\ x\ne 2 \end{align} \right.$
Ta có: (1) $\Leftrightarrow \left( 5x+4 \right)\left( \text{x}-2 \right)=8\left( 2{{x}^{2}}+3x+1 \right)$
\[\Leftrightarrow 11{{x}^{2}}+30x+16=0\]
$\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( 11x+8 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} x & =-2 \\x & =-\frac{8}{11} \end{align} \right.$ (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có hai nghiệm là -2 và $-\frac{8}{11}$.
b) $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-x}=\sqrt{3x+5}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Điều kiện xác định: $-\dfrac{1}{2}\le x\le 3$.
Bình phương hai vế của phương trình (2) ta có:
$2\sqrt{\left( 2x+1 \right)\left( 3-x \right)}=2x+1$ $\Leftrightarrow 4\left( 2x+1 \right)\left( 3-x \right)={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( 2x+1 \right)\left( 11-6x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x=\dfrac{11}{6} \\ & x=-\dfrac{1}{2} \\ \end{align}\right.$
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có hai nghiệm là $\dfrac{11}{6}$ và $-\dfrac{1}{2}$.
Câu 2 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{align} x^2+x &=y^2+y \\ x^2+y^2 &=5 \end{align} \right.$
$\left\{ \begin{align} x^2+x &=y^2+y \\ x^2+y^2 &=5 \end{align} \right.$
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( x+y+1 \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=y \\ & x+y+1=0 \end{align} \right.$
TH1: x = y. Thay vào phương trình (2) ta có: ${{x}^{2}}=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{5}{2}}$
TH2: x + y + 1= 0. Suy ra y = - x – 1. Thay vào phương trình (2) ta có:
${{x}^{2}}+{{\left( -x-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-1\end{align} \right.$
Suy ra y = - 1 hoặc y = 0.
Vậy, hệ phương trình có 4 nghiệm là $\left( \sqrt{\dfrac{5}{2}},\sqrt{\dfrac{5}{2}} \right)$, $\left( -\sqrt{\dfrac{5}{2}},-\sqrt{\dfrac{5}{2}} \right)$, $\left( 0,-1 \right)$, $\left( -1,0 \right)$
Câu 3 (1,5 điểm) Cho hai số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a+b=3,\,ab=1$. Tính giá trị của biểu thức: $$P=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}$$
Ta có:
$$P=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( a+b-\sqrt{ab} \right)}$$
$$=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( a+b-\sqrt{ab} \right)}$$
$$P=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( a+b-\sqrt{ab} \right)}$$
$$=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( a+b-\sqrt{ab} \right)}$$
$$=\dfrac{{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}\left( a+b \right)}{\left( a+b-\sqrt{ab} \right)}=\dfrac{\left( a+b-2\sqrt{ab} \right)\left( a+b \right)}{\left( a+b-\sqrt{ab} \right)}=\dfrac{3}{2}$$
Câu 4 (4.0 điểm)
a)Ta có: $\widehat{AED}=\widehat{AFD}={{90}^{o}}$ Xét hai tam giác vuông AED và AFD có:
$\widehat{EAD}=\widehat{FAD}\,\,(gt)$
AD chung
. Suy ra $\vartriangle AED=\vartriangle \text{AFD}$ (Trường hợp cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra ED = FD.
Suy ra $AD\bot EF$(Đường kính đi qua trung điểm của một cung thì vuông góc với dây cung đó)
b) Xét hai tam giác vuông ABD và AKC có:
$$\widehat{BAD}=\widehat{CAK}(gt) $$
$\widehat{ABD}=\widehat{AKC} $ (Góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó: $\vartriangle ABD\sim \vartriangle AKC$(g.g)
c) Ta có: $\widehat{HEF}=\widehat{DAF}$ (cùng phụ góc $\widehat{HFE}$)
Suy ra $\widehat{HEF}=\widehat{DAE}$.
Xét hai tam giác vuông AED và EHF có:
$\left\{ \begin{align} & \widehat{HEF}=\widehat{DAE} \\ & \widehat{EHF}=\widehat{DEA}={{90}^{o}} \end{align} \right.$
Suy ra $\vartriangle AED\sim \vartriangle EHF$. Suy ra $\dfrac{AE}{HE}=\dfrac{ED}{HF}$ (suy ra đpcm)
Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\dfrac{a}{1+{{b}^{2}}}+\dfrac{b}{1+{{c}^{2}}}+\dfrac{c}{1+{{a}^{2}}}$$
Ta có:
$\dfrac{a}{1+{{b}^{2}}}=a-\dfrac{a{{b}^{2}}}{1+{{b}^{2}}}$
Áp dụng BDT Côsi cho hai số không âm, ta có: $1+{{b}^{2}}\ge 2b.$ Thay vào (1) ta có:
$\dfrac{a}{1+{{b}^{2}}}=a-\dfrac{a{{b}^{2}}}{1+{{b}^{2}}}\ge a-\dfrac{a{{b}^{2}}}{2b}=a-\dfrac{ab}{2} $
Tương tự, ta có:
$\dfrac{b}{1+{{c}^{2}}}\ge b-\dfrac{bc}{2} $ (3),
$\dfrac{c}{1+{{a}^{2}}}\ge c-\dfrac{ca}{2} .$
Cộng ba bất đẳng thức (2), (3) và (4) vế theo vế, ta có:
$\dfrac{a}{1+{{b}^{2}}}+\dfrac{b}{1+{{c}^{2}}}+\dfrac{c}{1+{{a}^{2}}}\ge a+b+c-\dfrac{ab+bc+ca}{2}$
Mặt khác, ta có bất đẳng thức:
$ab+bc+ca\le \dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}=3$
Thay điều kiện $a+b+c=3$ và bất đẳng thức (6) vào (5), ta có:
$$P=\dfrac{a}{1+{{b}^{2}}}+\dfrac{b}{1+{{c}^{2}}}+\dfrac{c}{1+{{a}^{2}}}\ge \dfrac{3}{2}$$
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là $\dfrac{3}{2}$, đạt được khi $a=b=c=1$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét